Ο μυστικισμός και η μαγεία της ακολουθίας Fibonacci

Author: Χωρίς σχόλια Share:

H ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,… (κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων).

 

Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ =1.618033989. Ο αντίστροφος της Χρυσής Τομής 1/φ= 0.618033989, με αποτέλεσμα να ισχύει: 1/φ=φ-1. Ο αριθμός Φ λέγεται και αριθμός της χρυσής τομής, αφού παριστάνει το χωρισμό ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Στο άρθρο αυτό θα δούμε τη σχέση της ακολουθίας Fibonacci και της χρυσής τομής με τη φύση και τον άνθρωπο, καθώς και στις επιστήμες

 

Ποιος ήταν όμως ο μεγάλος μαθηματικός Fibonacci;

 

Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε αυτή του 1240. Άγαλμα του υπάρχει στο νεκροταφείο, δίπλα στον Καθεδρικό Ναό της Pisa, κοντά στον περίφημο πύργο. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Pisa και τη Φλωρεντία. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο πατέρας του Leonardo, Guglielmo Bonacci, ήταν τελωνειακός υπάλληλος στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia.

 

Mεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.

 

Το βιβλίο του Liber abbaci (βιβλίο των υπολογισμών) το οποίο ολοκληρώθηκε το 1202 έπεισε αρκετούς Ευρωπαίους μαθηματικούς να χρησιμοποιήσουν το «νέο» σύστημα. Το βιβλίο, γραμμένο στα λατινικά, περιγράφει με λεπτομέρεια τους μαθηματικούς κανόνες που σήμερα διδάσκονται στο δημοτικό για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και περιέχει πολλές ασκήσεις-παραδείγματα με λεπτομέρειες για την εφαρμογή αυτών των κανόνων.

 

Η παρουσία της ακολουθίας Fibonacci στη φύση

 

Η ακολουθία Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης, παράγεται από τη σχέση f(1) = f(2) = 1 , f(n+1) = f(n) + f(n-1) και απαντάται συχνά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των άλλων επιστημών. Είναι όμως σημαντικό και το πόσο συχνά συναντάται στη φύση, σε μοτίβα όπως τα λουλούδια ή τα φύλλα των φυτών. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. 

 

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελονών αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.

 

Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φως πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

 

Ο αριθμός των πετάλων σε πολλά άνθη τις περισσότερες φορές είναι ένας αριθμός Fibonacci. Ας φέρουμε κάποια παραδείγματα:

  • Τα περισσότερα τριφύλλια έχουν τρία ή πέντε φύλλα ενώ τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια όπως λέγει και το τραγούδι.
  • Οι περισσότερες μαργαρίτες έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα που είναι αριθμοί Fibonacci.
  • Το άγριο τριαντάφυλλο, η νεραγκούλα, ο καπουτσίνος και η ακουιλέγια εμφανίζονται συνήθως με  πέταλα ενώ το αστράκι και η πικραλίδα με 21.
  • Το χρυσάνθεμο έχει συνήθως 34 πέταλα όπως και ο ηλίανθος.

 

Το ίδιο το άνθος του Ηλιοτροπίου παρουσιάζει δεξιόστροφες και αριστερόστροφες σπείρες. Οι αριθμοί των σπειρών είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci. Συνήθως παρουσιάζονται οι ακόλουθοι αριθμοί:

  • 13 αριστερόστροφες σπείρες και 21 δεξιόστροφες.ή
  • 21 αριστερόστροφες και 34 δεξιόστροφες.

 

Τα φύλλα βλαστίζουν πάνω στους βλαστούς με τρόπο που δεν καλύπτει το ένα το άλλο για να μπορούν να παίρνουν φως και να κάνουν φωτοσύνθεση. Ποια είναι η καλύτερη διευθέτηση για να μπορεί κάθε φύλλο να παίρνει το μέγιστο δυνατό φως;

 

Ας πάρουμε για παράδειγμα τα φύλλα του ηλιοτροπίου. Έχει παρατηρηθεί συχνά ότι η γωνία μεταξύ δύο διαδοχικών φύλλων είναι 137 º, 30΄ 28΄΄. Αυτό ισοδυναμεί με γωνιά 360º/Φ² αν την μετρήσεις δεξιόστροφα ή 360/Φ αν μετρηθεί αριστερόστροφα. Στη δεύτερη περίπτωση το μέτρο της γωνίας είναι 222º 29΄ 32΄΄.

 

 

Πόσα φύλλα πρέπει να μετρήσουμε για να βρούμε ένα φύλλο ακριβώς πάνω από το προηγούμενο;

  • Αν μετρήσουμε δεξιόστροφα 8 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1100º δηλαδή 3,05 στροφές των 360º. Έχουμε κατά προσέγγιση τρεις στροφές και οκτώ φύλλα. Οι αριθμοί 3 και 8 είναι αριθμοί Fibonacci.
  • Αν μετρήσουμε 13 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1788º δηλαδή πέντε περίπου πλήρεις στροφές. [ κατ’ ακρίβεια 4,96 ]. Και πάλι οι αριθμοί 13 και 5 ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.
  • Αν πάμε στα 21 φύλλα έχουμε 8,02 στροφές των 360º. Εδώ και πάλι εμφανίζονται οι αριθμοί Fibonacci 8 και 21.

 

Είναι αξιοσημείωτο ότι, αν πάρουμε μια τυχαία μεμονωμένη σπείρα και μετρήσουμε τους κόκκους της και πάλι βρίσκουμε κάποιο διψήφιο αριθμό Fibonacci. Το ίδιο παρατηρούμε και στον κόμβους πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του ανανά, ή ενός κάκτου.

 

Ο αριθμός των κλάδων που αναπτύσσονται πάνω σε ένα αρχικό κλαδί ακολουθεί συχνά την ακολουθία Fibonacci. Παρατηρείται ότι ένας νεαρός βλαστός χρειάζεται δύο μήνες για να γίνει αρκετά μεγάλος για να αναπτύξει πάνω του νέα διακλάδωση και ακολούθως αναπτύσσει μια νέα διακλάδωση κάθε ένα μήνα. Το ίδιο ισχύει βέβαια και για τα θυγατρικά κλαδιά που αναπτύσσονται.

  • Στο τέλος του 1ου μήνα έχουμε ένα κλάδο, ενώ στο τέλος του δεύτερου έχουμε δεύτερο κλαδί.
  • Στο τέλος του τρίτου μήνα τα κλαδιά γίνονται τρία, αφού το αρχικό κλαδί διακλαδώνεται ξανά.
  • Στο τέλος του τέταρτου μήνα οι κλάδοι γίνονται πέντε. Διακλαδώνονται ο πρώτος και ο δεύτερος κλάδος.
  • Στο τέλος του πέμπτου μήνα οι διακλαδώσεις γίνονται οκτώ εφόσον διακλαδώνονται ο πρώτος δεύτερος και τρίτος κλάδος.

 

Η διακλάδωση βέβαια μπορεί να συνεχιστεί μέχρι κάποιο όριο με αυτό το ρυθμό. Αν δεν πιστεύετε ότι αυτό γίνεται στην πράξη παρατηρείστε και θα βρείτε τα δικά σας παραδείγματα χρυσής διακλάδωσης φυτών.

 

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ίδιο το ανθρώπινο χέρι: κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάκτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.

 

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ίδιο το ανθρώπινο χέρι: κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάκτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.

 

 

Οι “χρυσές αναλογίες” του ανθρώπινου σώματος

 

Η χρυσή τομή παρουσιάζεται στις αναλογίες ενός ιδανικού ανθρώπινου σώματος στις ακόλουθες περιπτώσεις:

  • Αν χωρίσουμε το σώμα σε δύο άνισα τμήματα, με σημείο διαχωρισμού τον ομφαλό. Είναι φανερό ότι το πάνω μέρος είναι μικρότερο από το κάτω, ποια όμως είναι η αναλογία των δύο μερών; Η απάντηση είναι ότι ο λόγος των δύο μερών είναι ο αριθμός Φ = ½ ( 1 + √5 ) = 1,618…. Όμως οι εκπλήξεις δεν τελειώνουν εδώ. Ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στα ακόλουθα:
  • Ο λόγος του ύψους του συνολικού ανθρώπινου σώματος προς το ύψος του μεγαλύτερου από τα δύο τμήματα του προηγούμενου παραδείγματος είναι πάλι Φ.
  • Ο λόγος του ύψους του τμήματος του σώματος που ορίζεται από τις οριζόντιες γραμμές που περνούν αντίστοιχα από τον ομφαλό και τις θηλές του στήθους, προς το ύψος του τμήματος που προσδιορίζεται από την οριζόντιες γραμμές που ορίζουν οι θηλές και η βάση του λαιμού είναι πάλι Φ.
  • Ο λόγος του τμήματος που ορίζεται από τις οριζόντιες γραμμές που περνούν αντίστοιχα από το ψηλότερο σημείο της κεφαλής και τις θηλές του στήθους, προς το ύψος του τμήματος που ορίζουν οι οριζόντιες γραμμές που περνούν από τις θηλές και τον ομφαλό είναι πάλι Φ.
  • Το πηλίκο του μήκους του διαστήματος [ κορυφή κεφαλής – γραμμή φρυδιών ] προς το μήκος του διαστήματος [ γραμμή φρυδιών – κάτω άκρο μύτης ] είναι ο αριθμός της χρυσής τομής 1,618033…
  • Όμοια το μήκος του τμήματος [ κορυφή κεφαλής – κάτω άκρο μύτης ] προς το μήκος του τμήματος [ κάτω άκρο μύτης – κάτω άκρο λαιμού] είναι και πάλι Φ.
  • Κάθε δάκτυλο του χεριού του ανθρωπίνου σώματος έχει τρεις φάλαγγες, με την πρώτη φάλαγγα να είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη και τη δεύτερη μεγαλύτερη από την τρίτη. Αν προσθέσουμε το μήκος της δεύτερης και της τρίτης φάλαγγας και διαιρέσουμε το άθροισμα με το μήκος της πρώτης προκύπτει και πάλι ο αριθμός της χρυσής τομής.

Η γνώση του αριθμού φ και του χρυσού ορθογωνίου ανάγεται στους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι βάσισαν πάνω τους το πιο γνωστό έργο τέχνης: ο Παρθενώνας είναι γεμάτος από χρυσά ορθογώνια. Οι μαθητές του μαθηματικού και φιλοσόφου Πυθαγόρα έφταναν στο σημείο να θεωρούν τη χρυσή αναλογία, θεόπνευστη

 

 

“Καθώς κυλούν οι εποχές, άσε το στενάχωρο παρελθόν σου και ας είναι κάθε νέος ναός σου πιο ευγενής από τον προηγούμενο” έλεγε ο ποιητής Oliver Wendell Holmes στις αρχές του 20ου αιώνα στο ποίημα του Chambered Nautilus.

 

Με αφορμή λοιπόν το προηγούμενο ποίημα έχει πολυ ενδιαφέρον να δούμε την περίπτωση του μαλακίου που ονομάζεται ναυτίλος και φαίνεται να έχει σχεδιαστεί σύμφωνα με τις αριθμούς της “χρυσής ακολουθίας”.

 

Ο ναυτίλος ανήκει σε μία οικογένεια μαλακίων με ιστορία 500 εκατομμύρια χρόνων, η οποία έχει εκλείψει, με αυτόν να είναι ο τελευταίος της γενιάς του σήμερα με 3-4 επιβιώσαντα είδη κυρίως στον Ινδικό και Ειρηνικό ωκεανό. Το όστρακό του είναι σπειροειδές και διαιρείται εσωτερικά σε θαλάμους. Όσο το ζώο μεγαλώνει, κατασκευάζει όλο και μεγαλύτερους θαλάμους προς την έξοδο, στους οποίους μεταβαίνει εγκαταλείπωντας και σφραγίζοντας τον προηγούμενο.

 

Αυτή η δυνατή εικόνα αποτελεί μία αλληγορία για την ανθρώπινη πνευματική ανάπτυξη! Και ο Holmes περιέγραφε στο ποίημα του αυτόν ακριβώς τον συμβολισμό. Κάθε φορά που εγκαταλείπουμε τον παλιό τρόπο σκέψης για να υποδεχθούμε μια νέα, πιο διευρυμένη οπτική του κόσμου γύρω μας, βρισκόμαστε αυτόματα σε μία μεγαλύτερη πραγματικότητα, ένα μεγαλύτερο «σπιτικό». Καθώς εξοικοιωνόμαστε με αυτό, δεν πρέπει να πιστέψουμε ότι θα είναι και το τελευταίο μας. Το σπιράλ σχήμα του ναυτίλου, συμβολίζει τη δημιουργία, την διαρκή κίνηση και την ρευστότητα της ζωής και μας θυμίζει ότι πρέπει να είμαστε σε ετοιμότητα για συνεχή εξέλιξη, ακόμα κι αν αυτό σημαίνει εγκατάλειψη του προηγούμενου γνώριμου τρόπου ζωής.

 

Η φυσική και αρμονική προοδευτικότητα του κελύφους του ναυτίλου είναι το απόλυτο παράδειγμα της ακολουθίας αριθμών Fibonacci, όπου κάθε αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των 2 προηγούμενων, επ’ άπειρον. Παρατηρήστε κάτω πώς κατανέμονται αυτές οι αναλογίες στο σχήμα του ναυτίλου.

 

Έτσι, το κέλυφος του ναυτίλου είναι ένα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα της παρουσίας της Χρυσής Τομής στην φύση, ενός από τους μυστήριους αριθμούς Ιερής Γεωμετρίας στους οποίους βασίζεται η δομή του σύμπαντος και της φύσης μας. Η χρυσή τομή – που από τον 20ο αιώνα παριστάνεται με το ελληνικό γράμμα Φ, προς τιμήν του Φειδία που λέγεται ότι πρώτος χρησιμοποίησε αναλογίες χρυσής τομής για τα αγάλματα του Παρθενώνα – επηρέασε Δυτικούς διανοούμενους, καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες εδώ και 2.400 χρόνια, οι οποίοι προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη.

 

Είναι πραγματικά τόσο έντονη η παρουσία της Χρυσής Τομής στη φύση που πρώτος ο Leonardo da Vinci της απέδωσε τον όρο Θεία Αναλογία.

 

Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας τονίζει ο διεθνούς φήμης περιηγητής Stan Grist.

 

 

Η συνεισφορά στις πολιτιστικές τέχνες

 

Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα. Πιο πρόσφατα ο Ούγγρος συνθέτης Bela Bartok και ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier χρησιμοποίησαν σκόπιμα τη χρυσή αναλογία στα έργα τους. Όμως ακόμα και ο χριστιανικός σταυρός αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμές με την αναλογία ανάμεσα στην κατακόρυφη και την οριζόντια να μην είναι άλλη από τον αριθμό φ.

Ακόμη και σήμερα η χρυσή αναλογία απαντάται σε πλήθος αντικείμενα φτιαγμένα από τον άνθρωπο. Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό.

 

Αργότερα ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.

 

Οι πολυάριθμες εμφανίσεις της χρυσής αναλογίας, και των χρυσών ορθογωνίων στην τέχνη, είναι αντικείμενο συζητήσεων και ερευνών μεταξύ των ψυχολόγων για το κατά πόσο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο για παράδειγμα, ώς πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο. Το 1995 ο καθηγητής Christopher Green του Πανεπιστημίου York στο Toronto, σε ένα άρθρο του στο περιοδικό Perception παρουσιάζει τα αποτελέσματα μιας σειράς πειραμάτων που δεν έδειξαν κάποια μετρήσιμη προτίμηση για το χρυσό ορθογώνιο, δεν παραλείπει όμως να αναφέρει ότι αρκετοί άλλοι συνάδελφοί του έχουν αντίστοιχα δεδομένα που υποδηλώνουν ακριβώς το αντίθετο, ότι δηλαδή υπάρχει μια τέτοια τάση.

 

Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

 

antikristis

Previous Article

Ανακάλυψη υδρατμών σε δορυφόρο του Δία (Εικόνες)

Next Article

Το τηλεσκόπιο Hubble τράβηξε μερικές εκπληκτικές φωτογραφίες ενός κοντινού κομήτη

Διαβάστε επίσης: